粒子運動可逆，時間點解不可逆？鄧煜與希爾伯特第六問題

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一盒氣體入面，每一粒分子都只係按牛頓定律移動同碰撞。牛頓力學係可逆的——將撞球片段倒帶播放，你根本分唔出邊段係原片。但一隻杯跌落地碎開，倒帶一睇就即刻穿崩。同樣係碰撞，點解大量粒子夾埋一齊之後，時間就突然有咗方向？

今集《未來學》由江啟明與紐約大學物理學博士陳志宏一同拆解菲爾茲獎得主鄧煜的研究，以及背後一條懸空咗一百二十多年的數學難題——希爾伯特第六問題。

菲爾茲獎的另一位華人得主
今屆菲爾茲獎頒發予四位數學家，其中兩位是華人。傳媒焦點多數落在王虹身上——她是首位獲得這個「數學界諾貝爾獎」的華人女性，而她研究的掛谷猜想本身相當直觀，容易用簡單比喻說明。

另一位華人得主鄧煜，關注度相對低，但他解決的問題對物理學同工程學意義極大。鄧煜年少成名，2006 年國際數學奧林匹亞金牌得主，在朋輩之間有「鄧神」之稱。菲爾茲獎不頒給超過 40 歲的人，鄧煜今年 37 歲——若今屆不獲獎，往後就再無機會。

值得一提的是，王虹現任紐約大學教授，鄧煜曾在紐約大學做博士後研究，而今集嘉賓陳志宏亦是紐約大學物理學博士。

什麼是「物理學的公理化」？
1900 年，希爾伯特發表了一系列數學問題，第六問題的內容是：將物理學公理化。

數學是高度公理化的體系。以幾何學為例，每一條定律都清晰明確，我們可以由一組定理結合另一組定理推導出新定理，新定理又可以再向外推展。整套數學最終是一座環環緊扣的邏輯大廈。

希爾伯特想問的是：物理學能不能同樣做到？能不能由最基本的物理理解，一路推導出整個宇宙的所有物理定律？

以他當時的眼光，只要能把微觀世界的牛頓力學與宏觀的統計力學接通，物理學的公理化就算大致完成。當然，1900 年之後相對論與量子力學相繼出現；即使鄧煜解決了第六問題，也不代表今日的物理學已經完全公理化——量子力學至今仍未完全統合入整個物理體系。比較安全的說法是：鄧煜解決的，是希爾伯特當年心目中的那個問題。

由粒子到流體：中間隔了什麼？
固體的運動可以用 F = ma 解釋，知道受力就知道軌跡。但流體不同。整體上流體像連綿不斷的物質，用顯微鏡看下去卻只是一大堆粒子在互相碰撞。

物理系一年級會見到的流體力學公式——連續性方程式（continuity equation）、白努利定律（Bernoulli's equation）、納維-斯托克斯方程式（Navier-Stokes equation）——一直被當作最基本的公式使用。但它們其實不是起點。

中間的橋樑是波茲曼方程式（Boltzmann equation）。這條方程式描述整個粒子系統中，每一粒粒子在某個位置、某個時間點的位置與速度如何隨時間演變，當中受一個「粒子碰撞項」支配。個別一對粒子相撞後如何重新分配速度，可以由最基本的牛頓力學算出來。由波茲曼方程式再推導出流體力學公式，是統計力學課程做過的事。

真正的缺口在於：波茲曼方程式本身，能不能由牛頓力學推導出來？

卡住百年的那個「舒服假設」
推導過程需要一個機率假設，叫做分子混沌（molecular chaos）。

意思是：第一粒粒子出現在某個位置的機率，與第二粒粒子出現在該位置的機率，互相獨立。就像擲骰——第一次擲到六，不會令第二次擲到六的機會變高，所以連續兩次擲到六的機率就是六份之一乘六份之一。

粒子沒有記憶，撞完就忘記，所以每次碰撞都當作獨立事件。這個假設令運算大幅簡化，讀書時大家都覺得很合理、很舒服。

但數學不容許「舒服」。你用了一個假設，就必須證明它成立。過往有人證明過：碰撞之後一段短時間內，這個假設是合理的；但撞了幾千、幾萬次之後呢？無法保證。

鄧煜認為這樣不夠。他要證明的是：這個假設在任何時間都成立。

鄧煜的突破：誤差不會累積
據說鄧煜想到關鍵一步時，並不是對着電腦或紙筆，而是想到悶了出去食炸雞，一啖一啖食的時候想通了。

這個畫面其實相當貼切。一次過證明一個假設在所有時間都成立，等於一次過吞下整塊雞——太難。但將整條時間軸切成極短的小段，一啖一啖去證明，就可行。

短時間內假設成立，但每切一段就會多一個誤差項。關鍵在於這些誤差項會不會愈積愈大：

- 若誤差不停累積，假設就只能維持短時間，長時間必然失效；
- 若誤差在每個時間點互相抵消，不會愈變愈大，那麼短時間成立的假設，長時間一樣成立。

鄧煜最後計算出誤差項，並證明它們會互相抵消。至此，物理系學生用了幾代的「方便假設」，終於得到嚴謹證明。

微觀可逆、宏觀不可逆：時間箭頭從何而來
接通牛頓力學與波茲曼方程式，同時解答了另一個更根本的疑問。

在粒子碰撞的世界，牛頓力學描述的現象是可逆的。白球撞紅球，錄影後倒帶播放，你會見到紅球撞走白球；若把顏色抹去，兩個球一模一樣，你根本分不出哪一段是原片、哪一段是倒帶。

但宏觀世界不同。一隻完整的杯跌落地碎裂，倒帶一看是碎片離開地面重新組合成杯——任何人都知道這是倒帶。同樣是碰撞，一個是微觀粒子世界，一個是由一大堆粒子組成的宏觀世界，結果卻截然不同。

由微觀可逆推導到宏觀不可逆，正是希爾伯特第六問題背後真正的困惑。當數學能夠由微觀世界的牛頓力學一路推導到波茲曼方程式，就等於完成了由微觀到宏觀的跳躍——可逆的公式如何直接導出不可逆的公式，這個難題同時得到解答。

而不可逆正正連繫到另一個概念：熵。因為現實世界觀察到的現象大多不可逆轉，我們才發現熵不斷增加；也正因如此，我們說時間有一個方向，指向熵值增加、無序度增加。

我們身體裏的粒子每分每秒都在碰撞。當這些粒子遵從機率分佈、遵從宏觀世界的物理定律時，大量不可逆過程就會發生。我們周圍的物理世界，甚至我們的生命，整體上都走向熵值增加——而這，就定義了時間的方向。

結語
鄧煜的貢獻，表面上是解決一條百年數學難題；實質上，是讓我們可以由微觀世界的物理，解釋日常生活中大量現象背後最根本的成因。

一個看似只是「其中一條」的第六問題，象徵的其實是整個現實世界能否被數學貫穿。留一條問題給大家思考：如果微觀層面的每一步都可以倒帶，那麼「時間往前走」這件事，究竟是宇宙的性質，還是我們作為宏觀觀察者的視角限制？