數學可以係思考方法？咩係矛盾反證法？🗡️🛡️

幾乎每個喺大學讀數學嘅人，都有一種共同嘅創傷同經驗，就係「冇人知我哋讀緊咩」。我最記得有一次識咗一個新朋友，當佢知道我係讀數學系之後，第一個問我嘅問題係：「你好鍾意計數㗎？」

 

究竟數學系係讀咩㗎？大學數學又係咩一回事？呢啲問題冇統一嘅答案，但係有一樣嘢係我可以好肯定咁樣答你：讀數學，我哋係學緊點樣去思考。

 

喺日常生活中，我哋成日都要做「證明」，返工嘅要向老闆證明業績升咗幾多、讀書嘅要喺測驗考試攞高分去證明自己明白科目嘅內容。有冇諗過，「證明」呢個詞語係點解？而「證明」一樣嘢係啱定錯，有幾多種唔同嘅方法？證明嘅定義、有效性以及方法，其實係數學之中好重要嘅一環。

 

相信大家都有聽過「以子之矛，攻子之盾」嘅故事。韓非想證明呢個奸商並唔可能同時擁有最強嘅矛同最強嘅盾，就先當奸商所講嘅野係真，之後發現當中有內在嘅邏輯矛盾：最強嘅矛如果打穿最強嘅盾，咁個盾就唔係刀劍不入；最強嘅矛如果打唔穿最強嘅盾，咁枝矛就唔係能破萬物。呢種先假設命題成立，之後尋找矛盾點去證明原本嘅命題冇可能成立嘅證明方法，就係鼎鼎有名嘅「反證法」(Proof By Contradiction)。歷史上好出名嘅「第一次數學危機」(The Crisis of the Foundation of Mathematics I)，就係希帕索斯利用反證法證明無理數嘅存在，推翻咗畢達哥拉斯學派一直相信嘅信念。傳說中，希帕索斯重比畢達哥拉斯學派嘅人掉落海而浸死咗。

 

今日想同大家分享多一個例子。古希臘哲學家亞里士多德曾經提出一個觀點，認為重物會比輕物係地心吸力之中會墜落得更快。意大利科學家伽利略唔同意呢一種諗法，而據傳說，伽利略曾經喺比薩斜塔上扔下兩個不同質量但係相同體積嘅鐵球，而結果兩個鐵球同時落地。要證明「重物會比輕物墜落得更快」，係咪真係要搞到咁大陣仗？按文獻記載，其實伽利略係有提出一個「思想實驗」(thought experiment)去證明亞里士多德嘅觀點係冇可能成立。

 

冇錯，實驗都唔使做，就咁諗下都知道有矛盾！

 

伽利略喺《論兩種新科學》("Dialogues Concerning Two New Sciences")中假設重物會比輕物墜落得更快，然後叫讀者想像以下情況：

 

一塊重量為8kg嘅金屬，由某高度掉落地下，需要T 秒；

如果將一塊4kg同埋一塊8kg嘅金屬用繩綁起，由同樣高度掉落地下，需要幾多秒？

 

你可以好快會畀到一個答案：兩塊金屬加埋係12kg，咁按照假設，需要嘅時間就會短過T 。但係如果你諗真啲：當用繩綁起兩塊金屬，8kg嘅金屬會跌得快過4kg嘅金屬，4kg嘅金屬喺呢個情況就會拖慢大家下跌嘅速度。打個比喻，百米飛人保特跑100米要9秒58，但係如果佢跑嗰陣要好似火車頭咁綁住一個跑得慢過佢嘅人，佢完成100米肯定就要耐過9秒58。同樣道理，用繩綁起兩塊金屬之後，掉落地下需時應該長過T 秒。咁就奇怪啦，我哋經過一輪討論，得出兩塊金屬綁起之後墜落，需要嘅時間又要長過T 秒，同時又要短過T 秒。有見及此，我哋唯一嘅結論就係開頭嘅假設冇可能成立，故此我哋就推翻咗亞里士多德嘅想法。

 

喺受大學數學訓練嘅過程，學生會學到好多唔同嘅證明方法，令佢哋思考得有方法而且嚴謹。更甚，呢種思維邏輯更加可以推展到數學以外嘅範疇！如果你哋有興趣知道除咗反證法之後，數學人重有咩其他工具去幫助證明，歡迎你哋報名「搞大數學升級版」課程！